Vecteurs et problèmes de géométrie — Maths 2nde

Le vecteur est l'outil qui transforme la géométrie en calcul. Un déplacement, une translation, une direction : tout cela se code par deux coordonnées, et les questions d'alignement ou de parallélisme deviennent des vérifications numériques.

Vecteurs et coordonnées

Définition

Vecteur

À deux points $A$ et $B$ du plan, on associe le vecteur $A B$ , qui représente le déplacement de $A$ vers $B$ . Il est caractérisé par trois données : sa direction (la droite $(A B)$ et toutes ses parallèles), son sens (de $A$ vers $B$ ) et sa norme $∥ A B ∥$ , qui est la distance $A B$ .

Deux vecteurs sont égaux lorsqu'ils ont même direction, même sens et même norme : $A B = D C$ équivaut à dire que $A B C D$ est un parallélogramme.

Propriété

Coordonnées d'un vecteur

Dans un repère, si $A (x_{A}; y_{A})$ et $B (x_{B}; y_{B})$ , alors :

$A B (x_{B} - x_{A} y_{B} - y_{A})$

La norme s'en déduit par le théorème de Pythagore :

$A B = (x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2}$

et le milieu $I$ de $[A B]$ a pour coordonnées $(\frac{x _{A} + x _{B}}{2}; \frac{y _{A} + y _{B}}{2})$ .

Attention

Extrémité moins origine

Les coordonnées de $A B$ se calculent arrivée moins départ : $x_{B} - x_{A}$ , jamais l'inverse. Intervertir donne $B A = - A B$ , le vecteur opposé — l'erreur passe inaperçue dans un calcul de norme, mais fausse tous les raisonnements de sens et de colinéarité.

Opérations sur les vecteurs

Définition

Somme et produit par un réel

La somme $u + v$ correspond à l'enchaînement des deux déplacements ; en coordonnées, on additionne coordonnée par coordonnée. La relation de Chasles résume cette idée pour les vecteurs définis par des points :

$A B + B C = A C$

Le produit par un réel $k u$ multiplie chaque coordonnée par $k$ : le vecteur garde la même direction, son sens s'inverse si $k < 0$ , et sa norme est multipliée par $∣ k ∣$ .

Exemple

Calcul en coordonnées

Soient $u (2 - 1)$ et $v (- 3 4)$ .

$u + v (- 1 3)$ et $2 u - v (7 - 6)$

Pour la seconde : $2 \times 2 - (- 3) = 7$ et $2 \times (- 1) - 4 = - 6$ .

Colinéarité et déterminant

Définition

Vecteurs colinéaires, déterminant

Deux vecteurs $u$ et $v$ sont colinéaires lorsqu'il existe un réel $k$ tel que $v = k u$ (ou que l'un des deux est le vecteur nul). Ils ont alors la même direction.

Le déterminant de $u (x y)$ et $v (x^{'} y^{'})$ est le nombre :

$det (u; v) = x y^{'} - y x^{'}$

Propriété

Critère de colinéarité

$u$ et $v$ sont colinéaires si et seulement si $det (u; v) = 0$ .

Ce critère traduit en un seul calcul les deux grandes questions géométriques du chapitre :

trois points $A$ , $B$ , $C$ sont alignés si et seulement si $A B$ et $A C$ sont colinéaires ;
les droites $(A B)$ et $(C D)$ sont parallèles si et seulement si $A B$ et $C D$ sont colinéaires.

Exemple

Alignement de trois points

Soient $A (1; 2)$ , $B (3; 5)$ et $C (7; 11)$ . Les points sont-ils alignés ?

$A B (23)$ et $A C (69)$

$det (A B; A C) = 2 \times 9 - 3 \times 6 = 18 - 18 = 0$

Le déterminant est nul : les vecteurs sont colinéaires, donc $A$ , $B$ et $C$ sont alignés. On le voit d'ailleurs directement : $A C = 3 A B$ .

À retenir

$A B$ a pour coordonnées $(x_{B} - x_{A}; y_{B} - y_{A})$ : arrivée moins départ.
$A B = (x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2}$ et le milieu de $[A B]$ est $(\frac{x _{A} + x _{B}}{2}; \frac{y _{A} + y _{B}}{2})$ .
Relation de Chasles : $A B + B C = A C$ .
$det (u; v) = x y^{'} - y x^{'}$ ; il est nul si et seulement si les vecteurs sont colinéaires.
Alignement de points et parallélisme de droites se testent par la colinéarité des vecteurs associés.