Droites du plan — Maths 2nde

Ce chapitre prolonge celui des vecteurs : une droite y devient un objet de calcul, décrite par une équation. Savoir passer d'une équation à un dessin, et d'un dessin à une équation, est la compétence qui servira sans interruption jusqu'en terminale.

Vecteur directeur et équations de droites

Définition

Vecteur directeur

Un vecteur directeur d'une droite $d$ est un vecteur non nul dont la direction est celle de $d$ : pour deux points distincts $A$ et $B$ de la droite, $A B$ convient.

Une droite a une infinité de vecteurs directeurs, tous colinéaires entre eux.

Propriété

Équation cartésienne

Toute droite du plan admet une équation de la forme :

$a x + b y + c = 0$

avec $(a; b) \neq = (0; 0)$ . Le vecteur $u (- b a)$ est alors un vecteur directeur de la droite.

Un point appartient à la droite si et seulement si ses coordonnées vérifient l'équation — c'est le réflexe de base du chapitre.

Propriété

Équation réduite et pente

Si la droite n'est pas verticale ( $b \neq = 0$ ), son équation peut se mettre sous la forme réduite :

$y = m x + p$

$m$ est la pente (ou coefficient directeur) et $p$ l'ordonnée à l'origine. Pour deux points distincts $A$ et $B$ de la droite, $m = \frac{y _{B} - y _{A}}{x _{B} - x _{A}}$ .

Une droite verticale n'a pas d'équation réduite : elle s'écrit $x = k$ .

Attention

Deux équations pour un même objet

$2 x - y + 1 = 0$ et $y = 2 x + 1$ décrivent la même droite. La forme cartésienne couvre tous les cas, y compris les verticales ; la forme réduite est plus lisible mais exclut $x = k$ . Avant tout calcul, identifiez la forme dont vous disposez et celle dont vous avez besoin.

Tracer, déterminer, vérifier

Méthode

Déterminer l'équation réduite d'une droite $(A B)$

Même démarche que pour une fonction affine, dont la droite est le graphe.

1
Calculer la pente $m = \frac{y _{B} - y _{A}}{x _{B} - x _{A}}$ (si $x_{A} = x_{B}$ , la droite est verticale : écrire $x = x_{A}$ et s'arrêter).
2
Écrire $y = m x + p$ et reporter les coordonnées de $A$ pour trouver $p$ .
3
Vérifier que les coordonnées de $B$ satisfont l'équation obtenue.

Exemple

Équation de la droite $(A B)$

Soient $A (1; 3)$ et $B (4; 9)$ .

Pente : $m = \frac{9 - 3}{4 - 1} = \frac{6}{3} = 2$ .

Avec $A$ : $3 = 2 \times 1 + p$ , donc $p = 1$ , d'où $y = 2 x + 1$ .

Vérification avec $B$ : $2 \times 4 + 1 = 9$ . C'est bien l'ordonnée de $B$ .

Parallélisme et intersection

Propriété

Positions relatives de deux droites

Deux droites sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires — pour des équations réduites, si et seulement si elles ont la même pente.

Deux droites non parallèles se coupent en un unique point, dont les coordonnées s'obtiennent en résolvant le système formé par les deux équations.

Exemple

Point d'intersection

Cherchons l'intersection de $d : y = 2 x + 1$ et $d^{'} : y = - x + 7$ .

Les pentes $2$ et $- 1$ sont différentes : les droites sont sécantes. Au point d'intersection, les deux ordonnées coïncident :

$2 x + 1 = - x + 7$ , donc $3 x = 6$ , donc $x = 2$

Alors $y = 2 \times 2 + 1 = 5$ . Les droites se coupent en $(2; 5)$ .

Contrôle avec $d^{'}$ : $- 2 + 7 = 5$ . Le point est bien sur les deux droites.

Remarque

Trois issues possibles pour un système

Résoudre le système de deux équations de droites peut donner : une solution unique (droites sécantes), aucune solution (droites strictement parallèles), ou une infinité de solutions (les deux équations décrivent la même droite). La géométrie explique l'algèbre.

À retenir

Toute droite admet une équation cartésienne $a x + b y + c = 0$ , de vecteur directeur $(- b; a)$ .
Si elle n'est pas verticale, elle a une équation réduite $y = m x + p$ avec $m = \frac{y _{B} - y _{A}}{x _{B} - x _{A}}$ .
Une droite verticale s'écrit $x = k$ et n'a pas d'équation réduite.
Deux droites sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires (même pente en équation réduite).
Le point d'intersection de deux droites sécantes se calcule en résolvant le système de leurs équations.