Configurations du plan — Maths 2nde

Ce chapitre consolide la géométrie du collège — triangles, cercles, Thalès, Pythagore — mais en change l'exigence : en seconde, une figure ne prouve rien, elle guide. Chaque affirmation doit s'appuyer sur une propriété citée avec ses hypothèses.

Droites remarquables du triangle

Définition

Les quatre familles

Dans un triangle :

une médiatrice est la perpendiculaire à un côté en son milieu ;
une médiane joint un sommet au milieu du côté opposé ;
une hauteur passe par un sommet et est perpendiculaire au côté opposé ;
une bissectrice partage un angle du triangle en deux angles égaux.

Propriété

Points de concours

Dans tout triangle, chaque famille de trois droites est concourante :

les médiatrices se coupent au centre du cercle circonscrit, équidistant des trois sommets ;
les médianes se coupent au centre de gravité, situé aux deux tiers de chaque médiane à partir du sommet ;
les hauteurs se coupent à l'orthocentre ;
les bissectrices se coupent au centre du cercle inscrit, équidistant des trois côtés.

Attention

Médiatrice et médiane, l'éternelle confusion

Les deux passent par le milieu d'un côté, mais la médiatrice lui est perpendiculaire et ne passe par un sommet que si le triangle est isocèle, tandis que la médiane part toujours d'un sommet sans être en général perpendiculaire. Relisez l'énoncé : « perpendiculaire au côté » signale la médiatrice ou la hauteur, « milieu du côté opposé » signale la médiane.

Cercle et tangente

Définition

Cercle, corde, tangente

Le cercle de centre $O$ et de rayon $r$ est l'ensemble des points situés à la distance $r$ de $O$ .

Une corde joint deux points du cercle ; un diamètre est une corde passant par $O$ . Une tangente est une droite qui touche le cercle en un seul point.

Propriété

Tangente et rayon

La tangente au cercle en un point $M$ est perpendiculaire au rayon $[O M]$ .

Réciproquement, la droite passant par $M$ et perpendiculaire à $(O M)$ est la tangente au cercle en $M$ . Cette propriété fournit un angle droit gratuit dans de nombreuses figures — pensez-y dès qu'un cercle et une tangente cohabitent.

Remarque

Triangle inscrit dans un demi-cercle

Si un triangle est inscrit dans un cercle et qu'un de ses côtés est un diamètre, alors ce triangle est rectangle, l'angle droit étant opposé au diamètre. La réciproque est vraie : l'hypoténuse d'un triangle rectangle est un diamètre de son cercle circonscrit, dont le centre est le milieu de l'hypoténuse.

Pythagore et Thalès

Propriété

Théorème de Pythagore et sa réciproque

Si un triangle $A B C$ est rectangle en $A$ , alors $B C^{2} = A B^{2} + A C^{2}$ .

Réciproquement, si $B C^{2} = A B^{2} + A C^{2}$ , alors le triangle est rectangle en $A$ .

Le théorème direct calcule une longueur dans un triangle dont on sait déjà qu'il est rectangle ; la réciproque prouve un angle droit à partir des trois longueurs. Confondre les deux sens est l'erreur de rédaction la plus sanctionnée du chapitre.

Propriété

Théorème de Thalès

Soient deux droites sécantes en $A$ , $B$ et $M$ deux points de l'une, $C$ et $N$ deux points de l'autre, tous distincts de $A$ . Si $(B C)$ et $(M N)$ sont parallèles, alors :

$\frac{A M}{A B} = \frac{A N}{A C} = \frac{M N}{B C}$

La réciproque permet de prouver un parallélisme : si $\frac{A M}{A B} = \frac{A N}{A C}$ et que les points sont alignés dans le même ordre sur chaque droite, alors $(M N)$ et $(B C)$ sont parallèles.

Méthode

Rédiger une application de Thalès

La rédaction compte autant que le calcul : le correcteur vérifie les hypothèses avant le résultat.

1
Nommer la configuration : les deux droites sécantes, le point d'intersection, et le parallélisme donné par l'énoncé.
2
Écrire l'égalité des trois rapports, dans le bon ordre (les longueurs issues du même point l'une sur l'autre).
3
Extraire l'égalité utile, résoudre en produit en croix, puis contrôler l'ordre de grandeur du résultat sur la figure.

Exemple

Calcul d'une longueur

Les droites $(B M)$ et $(C N)$ se coupent en $A$ , avec $(M N) ∥ (B C)$ , $A M = 3$ , $A B = 5$ et $B C = 7, 5$ .

D'après le théorème de Thalès :

$\frac{A M}{A B} = \frac{M N}{B C}$ , donc $\frac{3}{5} = \frac{M N}{7 , 5}$

Produit en croix : $M N = \frac{3 \times 7 , 5}{5} = 4, 5$ .

Contrôle : $M N < B C$ , ce qui est cohérent puisque $M$ est entre $A$ et $B$ .

À retenir

Médiatrices → cercle circonscrit ; médianes → centre de gravité ; hauteurs → orthocentre ; bissectrices → cercle inscrit.
La tangente en $M$ est perpendiculaire au rayon $[O M]$ .
Un triangle inscrit dans un cercle avec un diamètre pour côté est rectangle.
Pythagore calcule une longueur dans un triangle rectangle ; sa réciproque démontre l'angle droit.
Thalès exige deux droites sécantes et un parallélisme cité ; sa réciproque démontre un parallélisme.