Généralités sur les fonctions — Maths 2nde

La notion de fonction est le fil conducteur de tout le lycée. L'idée est simple : un procédé qui, à un nombre, en associe un seul autre. Toute la difficulté tient dans ce « un seul », et dans le va-et-vient permanent entre trois représentations d'un même objet — une formule, un tableau, une courbe.

Définition et vocabulaire

Définition

Fonction, image, antécédent

Une fonction $f$ définie sur un ensemble $D$ associe à chaque nombre $x$ de $D$ un unique nombre noté $f (x)$ .

$f (x)$ est l'image de $x$ par $f$ .
Si $f (a) = b$ , alors $a$ est un antécédent de $b$ par $f$ .
$D$ est l'ensemble de définition : les valeurs de $x$ pour lesquelles le calcul est possible.

Attention

Image et antécédent ne sont pas symétriques

Un nombre a au plus une image — c'est la définition même d'une fonction. En revanche il peut avoir plusieurs antécédents, ou aucun.

Pour $f (x) = x^{2}$ : l'image de $3$ est $9$ , et seulement $9$ . Mais $9$ a deux antécédents, $3$ et $- 3$ , tandis que $- 1$ n'en a aucun.

Méthode

Déterminer un ensemble de définition

On part de $R$ et l'on retire ce qui est interdit.

1
Repérer les quotients : le dénominateur ne doit pas s'annuler.
2
Repérer les racines carrées : ce qui est dessous doit être positif ou nul.
3
Résoudre les conditions obtenues, puis écrire $D$ sous forme d'intervalles.

Exemple

Deux ensembles de définition

Pour $f (x) = \frac{1}{x - 2}$ , il faut $x - 2 \neq = 0$ , donc $x \neq = 2$ . Ainsi $D =] - \infty; 2 [\cup] 2; + \infty [$ .

Pour $g (x) = x - 3$ , il faut $x - 3 \geq 0$ , donc $x \geq 3$ . Ainsi $D = [3; + \infty [$ .

Lecture graphique

Définition

Courbe représentative

La courbe représentative de $f$ est l'ensemble des points de coordonnées $(x; f (x))$ pour $x$ parcourant $D$ . Un point $M (a; b)$ appartient à la courbe si et seulement si $b = f (a)$ .

Méthode

Lire images et antécédents

Les deux lectures se font dans des directions opposées : ne pas les confondre.

1
Image de $a$ : partir de $a$ sur l'axe des abscisses, monter (ou descendre) jusqu'à la courbe, puis lire à l'horizontale sur l'axe des ordonnées.
2
Antécédents de $b$ : partir de $b$ sur l'axe des ordonnées, tracer l'horizontale, repérer tous les points d'intersection avec la courbe, puis lire leurs abscisses.

Remarque

Un test visuel commode

Une courbe représente une fonction si et seulement si toute droite verticale la coupe au plus une fois. Un cercle échoue à ce test : il ne peut pas être la courbe d'une fonction.

Variations et extremums

Définition

Croissance et décroissance

Sur un intervalle $I$ , la fonction $f$ est :

croissante si elle conserve l'ordre : pour tous $a$ et $b$ de $I$ , $a \leq b$ entraîne $f (a) \leq f (b)$ ;
décroissante si elle inverse l'ordre : $a \leq b$ entraîne $f (a) \geq f (b)$ .

Graphiquement, une fonction croissante « monte » quand on parcourt la courbe de gauche à droite.

Attention

Les variations dépendent de l'intervalle

Une fonction n'est pas croissante « en général » : elle l'est sur un intervalle. La fonction carré est décroissante sur $] - \infty; 0]$ et croissante sur $[0; + \infty [$ . Préciser l'intervalle fait partie de la réponse.

Définition

Maximum et minimum

$f$ admet un maximum $M$ en $a$ sur $I$ si $f (a) = M$ et si $f (x) \leq M$ pour tout $x$ de $I$ . Le minimum se définit de même avec l'inégalité inverse.

Le maximum est une valeur ( $M$ , une ordonnée) ; il est atteint en $a$ (une abscisse). Une question demandant « le maximum » attend $M$ , pas $a$ .

Exemple

Lire un tableau de variations

Un tableau de variations résume tout le comportement de la fonction. Si $f$ est définie sur $[- 3; 5]$ , décroissante de $7$ à $- 2$ sur $[- 3; 1]$ , puis croissante de $- 2$ à $4$ sur $[1; 5]$ , alors :

le minimum de $f$ vaut $- 2$ , atteint en $x = 1$ ;
le maximum vaut $7$ , atteint en $x = - 3$ ;
l'équation $f (x) = 0$ admet exactement deux solutions, une sur chaque branche.

À retenir

Une fonction associe à chaque $x$ une seule image ; un nombre peut avoir plusieurs antécédents, ou aucun.
Ensemble de définition : dénominateur non nul, quantité sous une racine positive ou nulle.
Image : de l'axe des $x$ vers la courbe. Antécédent : de l'axe des $y$ vers la courbe.
Toute droite verticale coupe au plus une fois la courbe d'une fonction.
Les variations s'énoncent toujours sur un intervalle.
Le maximum est une valeur ; il est atteint en une abscisse.