Fonctions de référence — Maths 2nde

Cinq fonctions — carré, cube, inverse, racine carrée, valeur absolue — servent de repères pour toutes les autres. Connaître par cœur leurs courbes, leurs variations et leur parité permet d'anticiper le comportement d'une fonction avant tout calcul.

Parité : une symétrie de la courbe

Définition

Fonction paire, fonction impaire

Soit $f$ une fonction dont l'ensemble de définition est symétrique par rapport à $0$ .

$f$ est paire si $f (- x) = f (x)$ pour tout $x$ : sa courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
$f$ est impaire si $f (- x) = - f (x)$ pour tout $x$ : sa courbe est symétrique par rapport à l'origine du repère.

Attention

La plupart des fonctions ne sont ni l'un ni l'autre

« Ne pas être paire » n'implique pas « être impaire » : la fonction $f (x) = x + 1$ n'est ni paire ni impaire, car $f (- 1) = 0$ ne vaut ni $f (1) = 2$ ni $- f (1) = - 2$ . Un seul contre-exemple numérique suffit pour réfuter la parité ; la prouver, en revanche, exige un calcul sur $x$ quelconque.

Les cinq fonctions au programme

Propriété

Carré et cube

La fonction carré $x \mapsto x^{2}$ , définie sur $R$ , est paire. Elle est décroissante sur $] - \infty; 0]$ et croissante sur $[0; + \infty [$ ; sa courbe est une parabole de sommet l'origine.

La fonction cube $x \mapsto x^{3}$ , définie sur $R$ , est impaire et croissante sur $R$ tout entier.

Propriété

Inverse et racine carrée

La fonction inverse $x \mapsto \frac{1}{x}$ est définie sur $] - \infty; 0 [\cup] 0; + \infty [$ : elle n'existe pas en $0$ . Elle est impaire, décroissante sur chacun des deux intervalles, et sa courbe est une hyperbole.

La fonction racine carrée $x \mapsto x$ est définie sur $[0; + \infty [$ seulement. Elle est croissante, et n'est ni paire ni impaire : son ensemble de définition n'est pas symétrique par rapport à $0$ .

Propriété

Valeur absolue

La fonction valeur absolue $x \mapsto ∣ x ∣$ vaut $x$ si $x \geq 0$ et $- x$ si $x < 0$ : elle mesure la distance de $x$ à $0$ .

Elle est paire, décroissante sur $] - \infty; 0]$ et croissante sur $[0; + \infty [$ . Sa courbe est formée de deux demi-droites en « V », de sommet l'origine.

Attention

L'inverse ne s'annule jamais, la décroissance ne se recolle pas

Dire que la fonction inverse est « décroissante sur son ensemble de définition » est faux : $\frac{1}{- 1} = - 1 < \frac{1}{1} = 1$ alors que $- 1 < 1$ . La décroissance vaut sur $] - \infty; 0 [$ et sur $] 0; + \infty [$ séparément — toujours citer l'intervalle.

Comparer grâce aux variations

Méthode

Comparer deux images sans calculatrice

Le sens de variation transforme une comparaison d'images en comparaison d'antécédents.

1
Placer les deux nombres dans un même intervalle où la fonction est monotone.
2
Si la fonction y est croissante, elle conserve l'ordre ; si elle y est décroissante, elle le renverse.
3
Conclure, en citant la fonction, l'intervalle et le sens de variation utilisés.

Exemple

Deux comparaisons

Comparons $0, 9^{2}$ et $0, 8^{2}$ : sur $[0; + \infty [$ , la fonction carré est croissante et $0, 8 < 0, 9$ , donc $0, 8^{2} < 0, 9^{2}$ .

Comparons $\frac{1}{0 , 8}$ et $\frac{1}{0 , 9}$ : sur $] 0; + \infty [$ , la fonction inverse est décroissante et $0, 8 < 0, 9$ , donc $\frac{1}{0 , 8} > \frac{1}{0 , 9}$ .

Même point de départ, conclusions opposées : tout tient au sens de variation.

À retenir

Paire : $f (- x) = f (x)$ , symétrie d'axe $(O y)$ . Impaire : $f (- x) = - f (x)$ , symétrie de centre l'origine.
Carré : paire, parabole, minimum en $0$ . Cube : impaire, croissante sur $R$ .
Inverse : définie sur $R$ privé de $0$ , impaire, décroissante sur chaque intervalle séparément.
Racine carrée : définie sur $[0; + \infty [$ , croissante. Valeur absolue : paire, courbe en V.
Une fonction croissante conserve l'ordre, une fonction décroissante le renverse : c'est l'outil de toutes les comparaisons.