Fonctions affines — Maths 2nde

Vous avez rencontré les fonctions affines en troisième. La seconde en reprend l'étude avec un regard neuf : le coefficient directeur y devient un taux d'accroissement, c'est-à-dire une vitesse de variation. C'est cette lecture qui prépare la dérivation, en première.

Définition et représentation

Définition

Fonction affine

Une fonction $f$ est affine lorsqu'il existe deux réels $a$ et $b$ tels que $f (x) = a x + b$ pour tout réel $x$ .

$a$ est le coefficient directeur ;
$b$ est l'ordonnée à l'origine, puisque $f (0) = b$ .

Si $b = 0$ , la fonction est linéaire : $f (x) = a x$ . Une fonction linéaire est donc un cas particulier de fonction affine. Si $a = 0$ , la fonction est constante.

Propriété

La représentation graphique est une droite

La courbe représentative de $f (x) = a x + b$ est une droite non verticale, d'équation $y = a x + b$ .

Elle coupe l'axe des ordonnées au point de coordonnées $(0; b)$ . Elle passe par l'origine si et seulement si $b = 0$ , c'est-à-dire si la fonction est linéaire.

Méthode

Tracer la droite

Deux points suffisent, puisqu'une droite est déterminée par deux de ses points.

1
Placer le point $(0; b)$ , donné directement par l'ordonnée à l'origine.
2
À partir de ce point, avancer de $1$ vers la droite et de $a$ verticalement — vers le haut si $a > 0$ , vers le bas si $a < 0$ .
3
Tracer la droite passant par les deux points, puis vérifier avec une troisième valeur.

Taux d'accroissement

Propriété

Le coefficient directeur mesure une variation

Pour une fonction affine $f (x) = a x + b$ et deux réels distincts $x_{1}$ et $x_{2}$ :

$\frac{f ( x _{2} ) - f ( x _{1} )}{x _{2} - x _{1}} = a$

Ce quotient est le taux d'accroissement. Le point remarquable est qu'il ne dépend pas du choix de $x_{1}$ et $x_{2}$ : c'est précisément ce qui caractérise les fonctions affines.

Remarque

Une lecture concrète

$a$ répond à la question : « de combien varie $f (x)$ quand $x$ augmente de $1$ ? »

Si $f$ donne le prix d'une course de taxi en fonction du nombre de kilomètres, $a$ est le prix du kilomètre et $b$ la prise en charge fixe.

Méthode

Déterminer $f$ à partir de deux points

C'est l'exercice le plus fréquent du chapitre. Connaissant $f (x_{1}) = y_{1}$ et $f (x_{2}) = y_{2}$ :

1
Calculer $a = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}}$ .
2
Reporter $a$ et l'un des deux points dans $y = a x + b$ pour obtenir $b$ .
3
Écrire $f (x) = a x + b$ , puis vérifier avec le second point — celui qui n'a pas servi au calcul de $b$ .

Exemple

Détermination complète

Cherchons la fonction affine telle que $f (2) = 5$ et $f (6) = 13$ .

Coefficient directeur :

$a = \frac{13 - 5}{6 - 2} = \frac{8}{4} = 2$

Ordonnée à l'origine, en utilisant $f (2) = 5$ :

$5 = 2 \times 2 + b$ , donc $b = 1$ .

Ainsi $f (x) = 2 x + 1$ .

Vérification avec le second point : $f (6) = 2 \times 6 + 1 = 13$ . C'est cohérent.

Signe et variations

Propriété

Le sens de variation ne dépend que de $a$

Sur $R$ , la fonction affine $f (x) = a x + b$ est :

croissante si $a > 0$ ;
décroissante si $a < 0$ ;
constante si $a = 0$ .

L'ordonnée à l'origine $b$ n'intervient pas : elle translate la droite verticalement sans changer son inclinaison.

Méthode

Étudier le signe de $a x + b$

Une fonction affine non constante s'annule une seule fois et change de signe en ce point.

1
Résoudre $a x + b = 0$ , ce qui donne la racine $x = - \frac{b}{a}$ .
2
Déterminer le signe de $a$ .
3
Conclure : $f$ est du signe de $a$ après la racine, et du signe contraire avant. On résume dans un tableau de signes.

Exemple

Tableau de signes

Étudions le signe de $f (x) = - 3 x + 6$ .

Racine : $- 3 x + 6 = 0$ donne $x = 2$ .

Ici $a = - 3 < 0$ : la fonction est décroissante, donc positive avant $2$ et négative après.

$f (x) > 0$ pour $x \in] - \infty; 2 [$
$f (x) = 0$ pour $x = 2$
$f (x) < 0$ pour $x \in] 2; + \infty [$

Contrôle avec $x = 0$ : $f (0) = 6 > 0$ , et $0$ est bien avant $2$ .

À retenir

$f (x) = a x + b$ : $a$ est le coefficient directeur, $b$ l'ordonnée à l'origine.
La représentation graphique est une droite ; elle passe par l'origine si et seulement si $b = 0$ .
Le taux d'accroissement $\frac{f ( x _{2} ) - f ( x _{1} )}{x _{2} - x _{1}}$ vaut $a$ , quels que soient les points choisis.
$a > 0$ : croissante. $a < 0$ : décroissante. $a = 0$ : constante.
$a x + b$ s'annule en $- \frac{b}{a}$ et prend le signe de $a$ après cette racine.