Statistiques descriptives — Maths 2nde

Résumer une série de cent valeurs par deux ou trois nombres bien choisis : voilà l'objet de la statistique descriptive. La moyenne et la médiane disent où se situe la série, l'écart-type et l'écart interquartile disent si elle est resserrée ou dispersée — et aucun de ces nombres ne suffit seul.

Caractéristiques de position

Définition

Moyenne

La moyenne d'une série est la somme des valeurs divisée par l'effectif total. Si les valeurs $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{p}$ apparaissent avec les effectifs $n_{1}, n_{2}, \dots, n_{p}$ , la moyenne pondérée s'écrit :

$\overset{x}{ˉ} = \frac{n _{1} x _{1} + n _{2} x _{2} + \dots + n _{p} x _{p}}{n _{1} + n _{2} + \dots + n _{p}}$

Définition

Médiane et quartiles

La médiane est une valeur qui partage la série ordonnée en deux moitiés : au moins la moitié des valeurs lui sont inférieures ou égales, au moins la moitié supérieures ou égales.

Le premier quartile $Q_{1}$ est la plus petite valeur de la série telle qu'au moins un quart des valeurs lui soient inférieures ou égales ; le troisième quartile $Q_{3}$ joue le même rôle avec trois quarts.

Attention

Moyenne et médiane ne racontent pas la même histoire

Dans la série des salaires d'une entreprise, un très haut salaire tire la moyenne vers le haut mais laisse la médiane inchangée : la médiane résiste aux valeurs extrêmes, la moyenne non.

Série $10$ , $10$ , $11$ , $12$ , $100$ : la médiane est $11$ , la moyenne $28, 6$ . Aucune des deux n'est « fausse » — elles répondent à des questions différentes.

Caractéristiques de dispersion

Définition

Étendue, écart interquartile, écart-type

L'étendue est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur.
L'écart interquartile est $Q_{3} - Q_{1}$ : la largeur de la zone contenant la moitié centrale de la série.
L'écart-type, noté $σ$ , mesure la dispersion des valeurs autour de la moyenne : plus il est grand, plus la série est étalée. En seconde, on le calcule à la calculatrice ou au tableur.

Remarque

Des couples cohérents

On associe la médiane à l'écart interquartile (tous deux insensibles aux valeurs extrêmes) et la moyenne à l'écart-type (tous deux sensibles). Comparer deux séries exige de comparer position et dispersion : deux classes peuvent avoir la même moyenne, l'une homogène, l'autre très hétérogène.

Méthode

Construire une boîte à moustaches

La boîte à moustaches résume la série par cinq nombres et rend les comparaisons visuelles.

1
Ordonner la série et relever le minimum, $Q_{1}$ , la médiane, $Q_{3}$ et le maximum.
2
Tracer un axe gradué, puis la boîte du rectangle allant de $Q_{1}$ à $Q_{3}$ , coupée par un trait à la médiane.
3
Tracer les moustaches, du minimum à $Q_{1}$ et de $Q_{3}$ au maximum.

Exemple

Résumé complet d'une série

Notes d'un groupe : $8$ , $9$ , $10$ , $11$ , $11$ , $12$ , $13$ , $14$ , $16$ , $18$ (série déjà ordonnée, effectif $10$ ).

Moyenne : $\overset{x}{ˉ} = \frac{122}{10} = 12, 2$ .
Médiane : entre la $5^{e}$ et la $6^{e}$ valeur, soit $\frac{11 + 12}{2} = 11, 5$ .
$Q_{1}$ : la $3^{e}$ valeur ( $25 %$ de $10$ donne $2, 5$ , arrondi au rang supérieur), soit $10$ . $Q_{3}$ : la $8^{e}$ valeur, soit $14$ .
Écart interquartile : $14 - 10 = 4$ ; étendue : $18 - 8 = 10$ .

La moitié centrale du groupe se situe entre $10$ et $14$ .

Regroupement par classes

Définition

Classes et centre de classe

Quand les valeurs sont nombreuses ou continues (tailles, durées), on les regroupe en classes, c'est-à-dire en intervalles : par exemple $[160; 170 [$ , $[170; 180 [$ …

Pour estimer la moyenne d'une série regroupée, on remplace chaque classe par son centre (ici $165$ , $175$ …) et on calcule la moyenne pondérée des centres par les effectifs.

Remarque

Un résumé qui a un coût

Regrouper fait perdre de l'information : la moyenne calculée sur les centres de classes n'est qu'une estimation de la vraie moyenne. Le choix des classes influe sur l'allure de l'histogramme — un même jeu de données peut sembler régulier ou accidenté selon le découpage.

À retenir

Moyenne pondérée : $\overset{x}{ˉ} = \frac{n _{1} x _{1} + \dots + n _{p} x _{p}}{n _{1} + \dots + n _{p}}$ .
La médiane partage la série ordonnée en deux moitiés ; $Q_{1}$ et $Q_{3}$ délimitent la moitié centrale.
Dispersion : étendue, écart interquartile $Q_{3} - Q_{1}$ , écart-type $σ$ (autour de la moyenne).
Couples cohérents : médiane avec écart interquartile, moyenne avec écart-type.
La boîte à moustaches se construit sur cinq nombres : minimum, $Q_{1}$ , médiane, $Q_{3}$ , maximum.
Pour une série regroupée en classes, la moyenne s'estime avec les centres de classes.