Croisement de deux variables qualitatives — Maths 2nde

Un lycée compte des filles et des garçons, des internes et des externes : comment ces deux caractères se croisent-ils ? Le tableau croisé d'effectifs répond à cette question, et la distinction entre fréquence marginale et fréquence conditionnelle est l'unique vraie difficulté du chapitre — c'est elle qui fait dire aux statistiques autre chose que ce qu'elles disent.

Le tableau croisé

Définition

Tableau croisé d'effectifs

Un tableau croisé répartit une population selon deux caractères qualitatifs : les lignes portent les valeurs du premier, les colonnes celles du second. La case à l'intersection d'une ligne et d'une colonne contient l'effectif des individus présentant les deux valeurs à la fois.

Les totaux de chaque ligne et de chaque colonne, inscrits en marge du tableau, redonnent la répartition selon un seul caractère ; le coin du tableau contient l'effectif total.

Exemple

Un exemple fil rouge

Dans un lycée de $200$ élèves, on croise le régime (interne ou externe) et le niveau (seconde ou première) :

internes de seconde : $30$ ; internes de première : $20$ — total internes : $50$ ;
externes de seconde : $90$ ; externes de première : $60$ — total externes : $150$ ;
total seconde : $120$ ; total première : $80$ ; total général : $200$ .

Chaque case se lit « et » : $30$ élèves sont internes et en seconde.

Fréquences marginales et conditionnelles

Définition

Trois familles de fréquences

La fréquence d'une case rapporte son effectif à l'effectif total : $\frac{30}{200} = 0, 15$ , soit $15 %$ d'internes de seconde dans le lycée.
Une fréquence marginale rapporte un total de marge à l'effectif total : $\frac{50}{200} = 0, 25$ , soit $25 %$ d'internes.
Une fréquence conditionnelle rapporte une case au total de sa ligne ou de sa colonne : parmi les élèves de seconde, la fréquence des internes est $\frac{30}{120} = 0, 25$ .

Attention

« Parmi » change le dénominateur

« La proportion d'internes de seconde » ( $\frac{30}{200}$ ), « la proportion d'internes parmi les secondes » ( $\frac{30}{120}$ ) et « la proportion de secondes parmi les internes » ( $\frac{30}{50}$ ) sont trois nombres différents construits sur la même case.

Le mot « parmi » (ou « chez », « au sein de ») annonce le dénominateur : c'est lui qu'il faut repérer avant tout calcul.

Méthode

Calculer une fréquence demandée par un énoncé

Toute question de fréquence se ramène à un quotient bien choisi.

1
Identifier la sous-population de référence : l'ensemble complet, ou le groupe introduit par « parmi ».
2
Prendre pour dénominateur l'effectif de cette référence (total général ou total de marge).
3
Prendre pour numérateur l'effectif de la case concernée, calculer le quotient et l'exprimer en pourcentage.

Exemple

Deux questions, deux réponses

Toujours avec le tableau du lycée.

Quelle est la proportion d'externes parmi les élèves de première ? Référence : les $80$ élèves de première. Réponse : $\frac{60}{80} = 0, 75$ , soit $75 %$ .

Quelle est la proportion d'élèves de première parmi les externes ? Référence : les $150$ externes. Réponse : $\frac{60}{150} = 0, 4$ , soit $40 %$ .

Même case ( $60$ ), dénominateurs différents : les deux réponses ne coïncident pas, et aucune ne vaut la fréquence globale $\frac{60}{200} = 30 %$ .

Remarque

Vers les probabilités conditionnelles

La fréquence conditionnelle est la version statistique de la probabilité conditionnelle du chapitre de probabilités : « parmi les secondes, quelle proportion d'internes ? » deviendra « sachant que l'élève est en seconde, quelle probabilité qu'il soit interne ? ». Le réflexe du bon dénominateur se transfère tel quel.

À retenir

Une case du tableau croisé compte les individus présentant les deux valeurs à la fois ; les marges redonnent chaque caractère seul.
Fréquence d'une case : effectif de la case divisé par l'effectif total.
Fréquence marginale : total d'une marge divisé par l'effectif total.
Fréquence conditionnelle : effectif de la case divisé par le total de la ligne ou de la colonne de référence.
Le mot « parmi » désigne le dénominateur — le repérer avant de calculer.