Probabilités — Maths 2nde

Les probabilités donnent un cadre rigoureux au hasard. Le programme 2026 introduit dès la seconde la probabilité conditionnelle et les arbres pondérés, autrefois réservés à la première : l'essentiel du chapitre consiste à traduire correctement un énoncé en événements, puis à laisser les règles de calcul travailler.

Vocabulaire et premières règles

Définition

Expérience aléatoire, univers, événement

Une expérience aléatoire est une expérience dont on connaît les résultats possibles sans pouvoir prédire lequel se produira. L'ensemble de ces résultats, appelés issues, est l'univers, noté $Ω$ .

Un événement est un sous-ensemble de $Ω$ : il est réalisé lorsque l'issue obtenue lui appartient. Une probabilité attribue à chaque événement $A$ un nombre $P (A)$ compris entre $0$ et $1$ , avec $P (Ω) = 1$ .

Propriété

Équiprobabilité

Lorsque toutes les issues ont la même probabilité (dé équilibré, tirage « au hasard »), la probabilité d'un événement $A$ se calcule par dénombrement :

$P (A) = \frac{nombre d’issues favorables a ˋ A}{nombre total d’issues}$

Cette formule ne vaut que sous l'hypothèse d'équiprobabilité — un dé truqué la met en défaut.

Propriété

Opérations sur les événements

Pour deux événements $A$ et $B$ de l'univers $Ω$ :

l'événement contraire $\overset{ˉ}{A}$ est réalisé quand $A$ ne l'est pas, et $P (\overset{ˉ}{A}) = 1 - P (A)$ ;
$A \cap B$ (« $A$ et $B$ ») est réalisé quand les deux le sont ; $A \cup B$ (« $A$ ou $B$ ») quand l'un au moins l'est ;
$P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)$ .

Si $A \cap B$ est impossible, les événements sont incompatibles et la formule se réduit à $P (A \cup B) = P (A) + P (B)$ .

Attention

Le « ou » des mathématiques est inclusif

Dans $A \cup B$ , l'issue peut réaliser $A$ , $B$ , ou les deux : additionner $P (A)$ et $P (B)$ sans retrancher $P (A \cap B)$ compte deux fois les issues communes. C'est l'oubli le plus fréquent du chapitre — le terme correctif $- P (A \cap B)$ n'est facultatif que si les événements sont incompatibles, et il faut alors le dire.

Probabilité conditionnelle

Définition

Probabilité de $B$ sachant $A$

Soit $A$ un événement de probabilité non nulle. La probabilité conditionnelle de $B$ sachant $A$ , notée $P_{A} (B)$ , est la probabilité que $B$ se réalise lorsqu'on sait déjà que $A$ est réalisé :

$P_{A} (B) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( A )}$

Savoir que $A$ est réalisé restreint l'univers à $A$ : c'est le même changement de dénominateur que pour les fréquences conditionnelles d'un tableau croisé.

Attention

$P_{A} (B)$ n'est pas $P (A \cap B)$ , ni $P_{B} (A)$

« La probabilité qu'un élève interne soit demi-pensionnaire le mercredi » et « la probabilité qu'un élève soit interne et demi-pensionnaire » diffèrent par leur univers de référence. De même $P_{A} (B)$ et $P_{B} (A)$ n'ont aucune raison d'être égales : parmi les jours de pluie, la probabilité que le sol soit mouillé est proche de $1$ ; parmi les jours où le sol est mouillé, la probabilité qu'il ait plu ne l'est pas forcément.

Arbres pondérés

Propriété

Règles de l'arbre

Un arbre pondéré représente une expérience en étapes successives. Ses règles de fonctionnement :

la somme des probabilités portées par les branches issues d'un même nœud vaut $1$ ;
les branches du deuxième niveau portent des probabilités conditionnelles, sachant le chemin déjà parcouru ;
la probabilité d'un chemin est le produit des probabilités de ses branches : $P (A \cap B) = P (A) \times P_{A} (B)$ ;
la probabilité d'un événement est la somme des probabilités des chemins qui le réalisent.

Méthode

Traiter un énoncé avec un arbre

L'arbre organise les données et rend les calculs mécaniques.

1
Nommer les événements et repérer dans l'énoncé quelles probabilités sont simples et lesquelles sont conditionnelles (« sachant que », « parmi »).
2
Construire l'arbre étape par étape, en vérifiant que chaque nœud totalise $1$ .
3
Multiplier le long des chemins, additionner les chemins utiles, et contrôler que le résultat final est compris entre $0$ et $1$ .

Exemple

Calcul complet

Une urne contient $3$ boules rouges et $2$ boules vertes. On tire une boule, on ne la remet pas, puis on en tire une seconde. Quelle est la probabilité d'obtenir deux boules de la même couleur ?

Notons $R_{1}$ , $V_{1}$ , $R_{2}$ , $V_{2}$ les couleurs obtenues aux deux tirages.

Chemin « deux rouges » : $P (R_{1} \cap R_{2}) = \frac{3}{5} \times \frac{2}{4} = \frac{6}{20}$ — après une rouge, il reste $2$ rouges sur $4$ boules.
Chemin « deux vertes » : $P (V_{1} \cap V_{2}) = \frac{2}{5} \times \frac{1}{4} = \frac{2}{20}$ .

Les deux chemins sont incompatibles, donc :

$P (m \overset{e}{ˆ} me couleur) = \frac{6}{20} + \frac{2}{20} = \frac{8}{20} = \frac{2}{5}$

Remarque

Fréquences et probabilités

Quand on répète une expérience un grand nombre de fois, la fréquence d'un événement se stabilise autour de sa probabilité : c'est ce qu'illustrent les simulations en Python du chapitre d'algorithmique. La probabilité est le modèle ; la fréquence observée en est une approximation qui s'améliore avec le nombre d'essais.

À retenir

En situation d'équiprobabilité : $P (A) = \frac{issues favorables}{issues possibles}$ .
$P (\overset{ˉ}{A}) = 1 - P (A)$ et $P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)$ .
$P_{A} (B) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( A )}$ : savoir que $A$ est réalisé restreint l'univers à $A$ .
Dans un arbre pondéré : chaque nœud totalise $1$ , on multiplie le long d'un chemin, on additionne les chemins.
$P (A \cap B) = P (A) \times P_{A} (B)$ — c'est la formule du chemin.