Polynôme du second degré (approfondissement) — Maths 2nde

Le programme de seconde ne demande explicitement que la résolution des équations du type $x^{2} = a$ . Ce chapitre va plus loin et présente le trinôme $a x^{2} + b x + c$ et son discriminant : c'est une avance sur la première, utile si vous visez la spécialité mathématiques.

Le trinôme et ses écritures

Définition

Trinôme du second degré

Un trinôme du second degré est une expression de la forme $a x^{2} + b x + c$ , où $a$ , $b$ et $c$ sont des réels avec $a \neq = 0$ .

La condition $a \neq = 0$ est essentielle : si $a = 0$ , l'expression $b x + c$ est du premier degré et tout le chapitre s'effondre.

Propriété

Forme développée et forme factorisée

Le même trinôme peut s'écrire sous plusieurs formes, chacune adaptée à une question :

la forme développée $a x^{2} + b x + c$ donne directement la valeur en $0$ ;
la forme factorisée $a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ , quand elle existe, donne directement les racines $x_{1}$ et $x_{2}$ , c'est-à-dire les solutions de l'équation « trinôme égal à $0$ ».

Choisir la bonne forme avant de calculer est la compétence centrale du chapitre.

Exemple

Passer d'une forme à l'autre

Considérons $f (x) = x^{2} - 5 x + 6$ .

En factorisant : $f (x) = (x - 2) (x - 3)$ . On vérifie en développant :

$(x - 2) (x - 3) = x^{2} - 3 x - 2 x + 6 = x^{2} - 5 x + 6$

La forme factorisée montre que $f (x) = 0$ a pour solutions $x = 2$ et $x = 3$ : un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul.

Le discriminant

Définition

Discriminant

Le discriminant du trinôme $a x^{2} + b x + c$ est le nombre :

$Δ = b^{2} - 4 a c$

Son signe détermine le nombre de solutions de l'équation $a x^{2} + b x + c = 0$ .

Propriété

Résolution de $a x^{2} + b x + c = 0$

Si $Δ > 0$ : deux solutions distinctes, $x_{1} = \frac{- b - Δ}{2 a}$ et $x_{2} = \frac{- b + Δ}{2 a}$ , et le trinôme se factorise en $a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ .

Si $Δ = 0$ : une solution unique, $x_{0} = \frac{- b}{2 a}$ , et le trinôme s'écrit $a (x - x_{0})^{2}$ .

Si $Δ < 0$ : aucune solution réelle, et le trinôme ne se factorise pas dans $R$ .

Méthode

Résoudre une équation du second degré

La démarche est toujours la même ; sa rédaction doit faire apparaître les trois temps.

1
Mettre l'équation sous la forme $a x^{2} + b x + c = 0$ et identifier $a$ , $b$ , $c$ avec leurs signes.
2
Calculer $Δ = b^{2} - 4 a c$ et conclure sur le nombre de solutions selon son signe.
3
Si $Δ \geq 0$ , calculer la ou les solutions avec les formules, puis vérifier l'une d'elles en la reportant dans l'équation.

Exemple

Résolution complète

Résolvons $2 x^{2} - 7 x + 3 = 0$ . Ici $a = 2$ , $b = - 7$ , $c = 3$ .

$Δ = (- 7)^{2} - 4 \times 2 \times 3 = 49 - 24 = 25$

Comme $Δ = 25 > 0$ , il y a deux solutions :

$x_{1} = \frac{7 - 5}{4} = \frac{1}{2}$ et $x_{2} = \frac{7 + 5}{4} = 3$

Vérification : $2 \times 3^{2} - 7 \times 3 + 3 = 18 - 21 + 3 = 0$ . L'ensemble des solutions est $S = {\frac{1}{2}; 3}$ .

Attention

Les cas particuliers ne méritent pas le discriminant

Si $b = 0$ ou $c = 0$ , le discriminant est un marteau-pilon inutile :

$x^{2} = 9$ se résout directement : $x = 3$ ou $x = - 3$ — et n'oubliez jamais la solution négative ;
$x^{2} - 5 x = 0$ se factorise en $x (x - 5) = 0$ , d'où $x = 0$ ou $x = 5$ .

Réservez $Δ$ aux trinômes complets.

À retenir

Un trinôme du second degré s'écrit $a x^{2} + b x + c$ avec $a \neq = 0$ .
La forme factorisée $a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ donne les racines ; la forme développée donne la valeur en $0$ .
$Δ = b^{2} - 4 a c$ : deux solutions si $Δ > 0$ , une si $Δ = 0$ , aucune solution réelle si $Δ < 0$ .
Si $Δ > 0$ , les solutions sont $\frac{- b \pm Δ}{2 a}$ .
$x^{2} = a$ (avec $a > 0$ ) a deux solutions, $a$ et $- a$ : c'est le seul cas exigible au programme officiel de seconde.