Résoudre une équation, c'est trouver toutes les valeurs de l'inconnue qui rendent l'égalité vraie — toutes, et rien qu'elles. Le chapitre reprend le premier degré vu au collège, puis ajoute deux outils neufs : l'équation produit nul, qui explique pourquoi l'on factorise, et les systèmes de deux équations.
Équations et inéquations du premier degré
Les opérations autorisées
Une équation reste équivalente si l'on ajoute ou soustrait un même nombre aux deux membres, ou si on les multiplie ou divise par un même nombre non nul.
Pour une inéquation, la règle est la même à une exception près, décisive : multiplier ou diviser par un nombre négatif inverse le sens de l'inégalité.
Le changement de sens s'oublie systématiquement
De on tire , et non .
Contrôle immédiat : vérifie bien . Toujours tester une valeur de l'intervalle trouvé.
Résoudre une inéquation du premier degré
Le déroulé est invariable.
- 1
Développer et réduire chaque membre.
- 2
Rassembler les termes en d'un côté, les constantes de l'autre.
- 3
Diviser par le coefficient de , en inversant le sens si ce coefficient est négatif.
- 4
Écrire l'ensemble des solutions sous forme d'intervalle, puis tester une valeur pour vérifier.
Résolution complète
Résolvons .
On divise par , donc on inverse :
L'ensemble des solutions est .
Vérification avec : à gauche , à droite . On a bien .
Équation produit nul
Le théorème du produit nul
Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un au moins de ses facteurs est nul :
ou
C'est la raison d'être de la factorisation : elle transforme une équation compliquée en plusieurs équations simples.
Il faut un produit ET un zéro
La propriété ne vaut que pour un produit égal à zéro. De on ne peut rien conclure : ni , ni et . Il faut d'abord tout ramener dans le même membre pour obtenir à droite.
Factoriser pour résoudre
Résolvons .
On reconnaît une différence de carrés :
Donc ou , c'est-à-dire ou .
Les solutions sont et .
Un cas où il faut d'abord tout regrouper
Résolvons .
Tentation à éviter : simplifier par — cela ferait perdre la solution .
On regroupe :
D'où ou .
Systèmes de deux équations
Système
Un système de deux équations à deux inconnues rassemble deux conditions que et doivent vérifier simultanément. Une solution est un couple , pas deux nombres indépendants.
Résolution par substitution
À privilégier quand une inconnue est déjà isolée, ou facile à isoler.
- 1
Isoler une inconnue dans l'une des deux équations.
- 2
Remplacer cette inconnue par son expression dans l'autre équation.
- 3
Résoudre l'équation à une inconnue ainsi obtenue.
- 4
Reporter la valeur trouvée pour obtenir la seconde inconnue, puis vérifier le couple dans les deux équations de départ.
Résolution par combinaison
À privilégier quand aucune inconnue ne s'isole simplement.
- 1
Multiplier chaque équation par un nombre bien choisi pour que les coefficients d'une même inconnue deviennent opposés.
- 2
Additionner les deux équations membre à membre : l'inconnue disparaît.
- 3
Résoudre, puis reporter dans l'une des équations initiales.
Un système résolu par combinaison
Résolvons
Multiplions la seconde équation par : .
Additionnons avec la première : , soit et .
Reportons dans : .
Le couple solution est .
Vérification dans la première équation : .
À retenir
Multiplier une inéquation par un nombre négatif inverse le sens de l'inégalité.
ou — uniquement si le produit vaut zéro.
Ne jamais simplifier une équation par un facteur qui peut être nul : on perd des solutions.
La solution d'un système est un couple .
Toujours vérifier la ou les solutions dans l'énoncé de départ.