Calcul algébrique — Maths 2nde

Le calcul algébrique est l'outil de toute la suite du lycée. Développer, factoriser, manipuler des racines : ces gestes doivent devenir automatiques, parce qu'ils n'occuperont jamais le cœur d'un exercice — ils en seront toujours le passage obligé. Le temps investi ici se rembourse dans tous les autres chapitres.

Développer et factoriser

Définition

Deux mouvements inverses

Développer, c'est transformer un produit en somme. Factoriser, c'est l'inverse : transformer une somme en produit.

On développe pour comparer ou simplifier ; on factorise pour résoudre une équation, car un produit nul se traite terme à terme.

Propriété

Distributivité

Pour tous réels $k$ , $a$ , $b$ , $c$ , $d$ :

$k (a + b) = k a + k b$

$(a + b) (c + d) = a c + a d + b c + b d$

La seconde égalité se retient comme « chaque terme de la première parenthèse multiplie chaque terme de la seconde ».

Propriété

Les trois identités remarquables

$(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}$

$(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}$

$(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$

Elles servent dans les deux sens : de gauche à droite pour développer, de droite à gauche pour factoriser. C'est ce second sens qui est le plus utile et le moins spontané.

Attention

Le double produit s'oublie tout le temps

$(a + b)^{2} \neq = a^{2} + b^{2}$ . Il manque $2 ab$ .

Vérification sur $a = 3$ et $b = 4$ : $(3 + 4)^{2} = 49$ , alors que $3^{2} + 4^{2} = 25$ . En cas de doute, ce test numérique tranche en quelques secondes.

Méthode

Factoriser une expression

Devant une somme à factoriser, examiner dans cet ordre :

1
Y a-t-il un facteur commun visible ? Le mettre en évidence. Exemple : $6 x^{2} + 9 x = 3 x (2 x + 3)$ .
2
L'expression est-elle une différence de deux carrés $a^{2} - b^{2}$ ? Appliquer $(a + b) (a - b)$ .
3
Est-ce le développement d'un carré, $a^{2} \pm 2 ab + b^{2}$ ? Vérifier le double produit avant de conclure.
4
Sinon, un facteur commun est peut-être caché dans une parenthèse : $(x + 1) (x + 2) + (x + 1) (3 x)$ a pour facteur commun $(x + 1)$ .

Exemple

Une factorisation complète

Factorisons $A = (2 x + 1)^{2} - 9$ .

On reconnaît une différence de carrés, puisque $9 = 3^{2}$ . Avec $a = 2 x + 1$ et $b = 3$ :

$A = (2 x + 1 + 3) (2 x + 1 - 3)$

$A = (2 x + 4) (2 x - 2)$

On peut aller plus loin en factorisant chaque parenthèse :

$A = 2 (x + 2) \times 2 (x - 1) = 4 (x + 2) (x - 1)$

Racines carrées

Définition

Pour $a \geq 0$ , $a$ est l'unique nombre positif dont le carré vaut $a$ . Ainsi $9 = 3$ et non $- 3$ , bien que $(- 3)^{2} = 9$ .

Une racine carrée de nombre négatif n'existe pas dans $R$ .

Propriété

Règles de calcul

Pour $a \geq 0$ et $b \geq 0$ :

$a \times b = ab$

$\frac{a}{b} = \frac{a}{b}$ (avec $b > 0$ )

$(a)^{2} = a$

Attention

La racine ne traverse pas une somme

$a + b \neq = a + b$ .

Avec $a = 9$ et $b = 16$ : $25 = 5$ , alors que $9 + 16 = 3 + 4 = 7$ . La racine se distribue sur les produits et les quotients, jamais sur les sommes.

Méthode

Simplifier une racine carrée

L'objectif est de sortir de la racine le plus grand carré parfait possible.

1
Chercher le plus grand carré parfait qui divise le nombre sous la racine ( $4$ , $9$ , $16$ , $25$ , $36$ , $49$ …).
2
Écrire le nombre comme produit de ce carré et du reste.
3
Séparer avec $ab = a \times b$ , puis extraire la racine du carré parfait.

Exemple

Simplification

Simplifions $72$ .

Le plus grand carré parfait divisant $72$ est $36$ , car $72 = 36 \times 2$ .

$72 = 36 \times 2 = 36 \times 2 = 62$

Si l'on avait choisi $4$ au lieu de $36$ , on aurait obtenu $218$ , exact mais non simplifié : il aurait fallu recommencer.

À retenir

$(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}$ — ne jamais oublier le double produit.
$(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$ : l'identité la plus utile pour factoriser.
Pour factoriser : facteur commun d'abord, puis identités remarquables.
$a \times b = ab$ , mais $a + b \neq = a + b$ .
Simplifier une racine : extraire le plus grand carré parfait.
En cas de doute sur une identité, tester avec deux valeurs numériques.