Nombres réels et intervalles — Maths 2nde

Vous connaissez déjà les entiers, les décimaux et les fractions. La seconde ajoute une pièce décisive : les nombres qui ne s'écrivent avec aucune fraction, comme $2$ ou $π$ . Ce chapitre met de l'ordre dans tout cela, puis introduit les intervalles, la manière commode d'écrire « tous les nombres entre telle et telle valeur ».

Les ensembles de nombres

Définition

Les cinq ensembles

$N$ : les entiers naturels, $0; 1; 2; 3; \dots$
$Z$ : les entiers relatifs, qui ajoutent les négatifs.
$D$ : les décimaux, qui s'écrivent avec un nombre fini de chiffres après la virgule.
$Q$ : les rationnels, quotients $\frac{a}{b}$ de deux entiers avec $b \neq = 0$ .
$R$ : les réels, tous les nombres de la droite graduée.

Propriété

Un rationnel a un développement décimal périodique

Un nombre est rationnel si et seulement si son écriture décimale est finie ou devient périodique. Ainsi $\frac{1}{3} = 0, 333 \dots$ et $\frac{1}{7} = 0, 142857142857 \dots$ sont rationnels.

Un réel qui n'est pas rationnel est dit irrationnel : son écriture décimale est infinie et sans période. C'est le cas de $2$ , de $π$ et de $3$ .

Attention

$\frac{1}{3}$ n'est pas un décimal

$\frac{1}{3} \in Q$ mais $\frac{1}{3} \in / D$ : aucun nombre fini de chiffres après la virgule ne l'écrit exactement. La calculatrice affiche $0, 3333333$ , qui est une valeur approchée, pas le nombre lui-même.

Les intervalles

Définition

Notation

Soient $a$ et $b$ deux réels avec $a \leq b$ .

$[a; b]$ est l'ensemble des réels $x$ tels que $a \leq x \leq b$ . Les bornes sont incluses : l'intervalle est fermé.
$] a; b [$ correspond à $a < x < b$ . Les bornes sont exclues : l'intervalle est ouvert.
$[a; b [$ correspond à $a \leq x < b$ , et $] a; b]$ à $a < x \leq b$ .

Le crochet tourné vers l'intérieur inclut la borne ; tourné vers l'extérieur, il l'exclut.

Définition

Intervalles non bornés

$[a; + \infty [$ : les réels $x$ tels que $x \geq a$ .
$] a; + \infty [$ : les réels $x$ tels que $x > a$ .
$] - \infty; b]$ : les réels $x$ tels que $x \leq b$ .
$] - \infty; + \infty [= R$ .

Attention

Le crochet de l'infini est toujours ouvert

On écrit $[3; + \infty [$ et jamais $[3; + \infty]$ . L'infini n'est pas un nombre : il ne peut pas être atteint, donc jamais inclus.

Méthode

Traduire une inégalité en intervalle

Passer d'une condition sur $x$ à un intervalle se fait en trois temps.

1
Repérer les deux bornes, ou l'unique borne si l'intervalle est non borné.
2
Placer la plus petite à gauche, la plus grande à droite.
3
Orienter chaque crochet : vers l'intérieur si l'inégalité est large ( $\leq$ ou $\geq$ ), vers l'extérieur si elle est stricte ( $<$ ou $>$ ).

Exemple

Réunion et intersection d'intervalles

Soient $I = [1; 5]$ et $J = [3; 8]$ .

$I \cap J$ rassemble les $x$ vérifiant à la fois $1 \leq x \leq 5$ et $3 \leq x \leq 8$ , c'est-à-dire $3 \leq x \leq 5$ : on obtient $[3; 5]$ .

$I \cup J$ rassemble les $x$ vérifiant l'une au moins des deux conditions : de $1$ à $8$ sans trou, soit $[1; 8]$ .

Tracer les deux intervalles l'un sous l'autre sur une droite graduée rend le résultat immédiat.

Remarque

Une réunion n'est pas toujours un intervalle

$[0; 1] \cup [4; 5]$ ne peut pas s'écrire comme un intervalle unique : il y a un trou entre $1$ et $4$ . On laisse alors l'écriture avec $\cup$ .

Valeur absolue

Définition

La valeur absolue d'un réel $x$ , notée $∣ x ∣$ , vaut $x$ si $x \geq 0$ , et $- x$ si $x < 0$ . C'est donc toujours un nombre positif ou nul : $∣3∣ = 3$ et $∣ - 3∣ = 3$ .

Propriété

Interprétation en distance

$∣ x - a ∣$ est la distance entre $x$ et $a$ sur la droite des réels. En particulier $∣ x ∣$ est la distance de $x$ à $0$ .

Cette lecture est la plus utile : elle transforme une équation en question de position.

Exemple

Résoudre avec la distance

Résolvons $∣ x - 3∣ = 2$ .

L'égalité dit : « la distance de $x$ à $3$ vaut $2$ ». Deux points de la droite sont à distance $2$ de $3$ : celui de gauche, $3 - 2 = 1$ , et celui de droite, $3 + 2 = 5$ .

Les solutions sont $x = 1$ et $x = 5$ .

De même, $∣ x - 3∣ \leq 2$ signifie « $x$ est à distance au plus $2$ de $3$ », ce qui donne l'intervalle $[1; 5]$ .

À retenir

$N \subset Z \subset D \subset Q \subset R$ ; $2$ et $π$ sont irrationnels.
Un rationnel a un développement décimal fini ou périodique.
Crochet vers l'intérieur : borne incluse. Vers l'extérieur : borne exclue.
Le crochet de $+ \infty$ et de $- \infty$ est toujours ouvert.
$∣ x - a ∣$ se lit comme la distance de $x$ à $a$ : c'est la clé des équations avec valeur absolue.