Arithmétique — Maths 2nde

L'arithmétique étudie les nombres entiers et leurs relations de divisibilité. En seconde, elle sert surtout d'école du raisonnement : c'est sur les multiples, les diviseurs et la parité que vous apprendrez à rédiger vos premières démonstrations complètes.

Multiples et diviseurs

Définition

Multiple, diviseur

Soient $a$ et $b$ deux entiers. On dit que $a$ est un multiple de $b$ lorsqu'il existe un entier $k$ tel que $a = k \times b$ . On dit alors aussi que $b$ est un diviseur de $a$ , ou que $b$ divise $a$ .

Par exemple $56 = 8 \times 7$ , donc $56$ est un multiple de $7$ (et de $8$ ), et $7$ divise $56$ .

Remarque

Deux points de vue sur la même égalité

« $a$ est un multiple de $b$ » et « $b$ est un diviseur de $a$ » décrivent la même situation. L'écriture $a = k \times b$ est la forme à retrouver dans toutes les démonstrations du chapitre : c'est elle qui traduit la divisibilité en une égalité exploitable par le calcul.

Propriété

Somme de deux multiples

La somme de deux multiples de $b$ est un multiple de $b$ .

Démonstration. Soient $a$ et $a^{'}$ deux multiples de $b$ : il existe deux entiers $k$ et $k^{'}$ tels que $a = k b$ et $a^{'} = k^{'} b$ . Alors :

$a + a^{'} = k b + k^{'} b = (k + k^{'}) b$

Comme $k + k^{'}$ est un entier, $a + a^{'}$ est bien un multiple de $b$ . Cette démonstration est un modèle : apprenez sa structure, pas seulement son résultat.

Nombres pairs et impairs

Définition

Parité

Un entier est pair lorsqu'il est multiple de $2$ , c'est-à-dire de la forme $2 k$ avec $k$ entier. Un entier est impair lorsqu'il ne l'est pas, c'est-à-dire de la forme $2 k + 1$ avec $k$ entier.

Tout entier est soit pair, soit impair, jamais les deux.

Exemple

Le carré d'un impair est impair

Soit $n$ un entier impair : $n = 2 k + 1$ avec $k$ entier. Alors :

$n^{2} = (2 k + 1)^{2} = 4 k^{2} + 4 k + 1 = 2 (2 k^{2} + 2 k) + 1$

Comme $2 k^{2} + 2 k$ est un entier, $n^{2}$ est de la forme $2 K + 1$ : il est impair.

On en déduit par contraposée un résultat utile : si $n^{2}$ est pair, alors $n$ est pair.

Attention

Un exemple n'est pas une preuve

Vérifier que $3^{2} = 9$ est impair ne démontre rien : il faut raisonner sur un impair quelconque, écrit $2 k + 1$ . En revanche, un seul contre-exemple suffit à réfuter un énoncé général — c'est l'asymétrie fondamentale entre prouver et réfuter, déjà rencontrée au chapitre sur la logique.

Fractions irréductibles

Définition

Fraction irréductible

Une fraction $\frac{a}{b}$ est irréductible lorsque $a$ et $b$ n'ont aucun diviseur commun autre que $1$ (et $- 1$ ). Autrement dit, on ne peut plus la simplifier.

Méthode

Rendre une fraction irréductible

On simplifie par les diviseurs communs jusqu'à épuisement. La décomposition en produit de facteurs premiers, vue en troisième, rend la démarche systématique.

1
Décomposer numérateur et dénominateur en produit de facteurs premiers.
2
Supprimer les facteurs communs au numérateur et au dénominateur.
3
Écrire la fraction avec les facteurs restants.

Exemple

Simplification complète

Rendons $\frac{84}{126}$ irréductible.

$84 = 2^{2} \times 3 \times 7$ et $126 = 2 \times 3^{2} \times 7$ .

Les facteurs communs sont $2$ , $3$ et $7$ , de produit $42$ :

$\frac{84}{126} = \frac{2 \times 42}{3 \times 42} = \frac{2}{3}$

La fraction $\frac{2}{3}$ est irréductible car $2$ et $3$ n'ont aucun diviseur commun autre que $1$ .

À retenir

$a$ est un multiple de $b$ lorsqu'il existe un entier $k$ tel que $a = k \times b$ ; on dit aussi que $b$ divise $a$ .
Pair signifie de la forme $2 k$ , impair de la forme $2 k + 1$ : ce sont ces écritures qui servent dans les démonstrations.
La somme de deux multiples de $b$ est un multiple de $b$ .
Le carré d'un entier impair est impair ; donc si $n^{2}$ est pair, $n$ est pair.
Une fraction est irréductible quand numérateur et dénominateur n'ont plus de diviseur commun autre que $1$ ; la décomposition en facteurs premiers permet de l'obtenir.