Ensembles et logique — Maths 2nde

Ce chapitre installe le vocabulaire que vous emploierez dans tous les autres. Rien n'y est difficile pris isolément : la difficulté est de parler juste. Dire « $x$ appartient à $A$ » ou « $A$ est inclus dans $B$ » n'est pas la même chose, et confondre les deux rend un raisonnement faux même quand l'intuition est bonne.

Appartenance et inclusion

Définition

Élément et ensemble

Un ensemble est une collection d'objets, appelés ses éléments. Si l'objet $x$ est un élément de l'ensemble $A$ , on écrit $x \in A$ et on lit « $x$ appartient à $A$ ». Sinon on écrit $x \in / A$ .

Un ensemble peut se décrire en extension, en listant ses éléments entre accolades : $A = {1; 3; 5; 7}$ . Il peut aussi se décrire en compréhension, par une propriété : $A$ est l'ensemble des entiers impairs compris entre $1$ et $7$ .

Définition

Sous-ensemble

On dit que $A$ est inclus dans $B$ , et on écrit $A \subset B$ , lorsque tout élément de $A$ est aussi un élément de $B$ . On dit alors que $A$ est un sous-ensemble (ou une partie) de $B$ .

Attention

Ne pas confondre $\in$ et $\subset$

$\in$ relie un élément à un ensemble ; $\subset$ relie deux ensembles. Avec $A = {1; 3; 5}$ :

$3 \in A$ est vrai, mais $3 \subset A$ n'a aucun sens ;
${3} \subset A$ est vrai, mais ${3} \in A$ est faux, car les éléments de $A$ sont des nombres, pas des ensembles.

Propriété

Les ensembles de nombres s'emboîtent

$N \subset Z \subset D \subset Q \subset R$

Tout entier naturel est un entier relatif, tout entier relatif est un décimal, et ainsi de suite. Ces inclusions sont strictes : $- 2 \in Z$ mais $- 2 \in / N$ , et $2 \in R$ mais $2 \in / Q$ .

Réunion, intersection, complémentaire

Définition

Les trois opérations

Soient $A$ et $B$ deux ensembles.

L'intersection $A \cap B$ est l'ensemble des éléments qui appartiennent à la fois à $A$ et à $B$ .
La réunion $A \cup B$ est l'ensemble des éléments qui appartiennent à $A$ ou à $B$ (ou aux deux).
Si $A \subset E$ , le complémentaire de $A$ dans $E$ , noté $\overline{A}$ , est l'ensemble des éléments de $E$ qui n'appartiennent pas à $A$ .

Remarque

Le « ou » des mathématiques est inclusif

Dans la langue courante, « fromage ou dessert » exclut d'avoir les deux. En mathématiques, jamais : $x \in A \cup B$ est vrai dès que $x$ est dans $A$ , dans $B$ , ou dans les deux. C'est une source d'erreur constante.

Exemple

Calcul sur des ensembles finis

Prenons $E = {1; 2; 3; 4; 5; 6}$ , $A = {1; 2; 3}$ et $B = {3; 4}$ .

$A \cap B = {3}$ : seul $3$ est dans les deux.
$A \cup B = {1; 2; 3; 4}$ : on prend tout, sans répéter $3$ .
$\overline{A} = {4; 5; 6}$ : ce qui reste de $E$ quand on retire $A$ .

Propositions, négation, implication

Définition

Proposition

Une proposition est un énoncé dont on peut dire s'il est vrai ou faux — pas les deux. « $5$ est un nombre pair » est une proposition (fausse). « $x > 3$ » n'en est une qu'une fois $x$ fixé.

Méthode

Nier une proposition

La négation d'une proposition $P$ , notée « non $P$ », est vraie exactement quand $P$ est fausse. Trois cas reviennent sans cesse :

1
La négation de « $x = 3$ » est « $x \neq = 3$ » ; celle de « $x > 3$ » est « $x \leq 3$ » — et non « $x < 3$ », car il faut conserver le cas $x = 3$ .
2
La négation de « $P$ et $Q$ » est « non $P$ ou non $Q$ » : le « et » devient « ou ».
3
La négation de « $P$ ou $Q$ » est « non $P$ et non $Q$ » : le « ou » devient « et ».

Définition

Implication et équivalence

« $P \Rightarrow Q$ » se lit « $P$ implique $Q$ » : dès que $P$ est vraie, $Q$ l'est aussi. Si de plus $Q \Rightarrow P$ , on écrit $P \Leftrightarrow Q$ et on dit que $P$ et $Q$ sont équivalentes.

Attention

Une implication ne se retourne pas

$P \Rightarrow Q$ n'entraîne jamais $Q \Rightarrow P$ . Si $x = 2$ alors $x^{2} = 4$ : c'est vrai. Mais $x^{2} = 4$ n'entraîne pas $x = 2$ , puisque $x$ peut valoir $- 2$ . Beaucoup d'erreurs de résolution viennent de là.

Méthode

Prouver qu'une proposition est fausse

Pour montrer qu'un énoncé du type « pour tout $x$ , … » est faux, il suffit d'exhiber un seul cas qui le contredit : un contre-exemple.

1
Énoncer clairement la proposition à réfuter.
2
Choisir une valeur pour laquelle l'hypothèse est vérifiée mais la conclusion non.
3
Vérifier explicitement les deux points sur cette valeur, par le calcul.

Exemple

Un contre-exemple rédigé

Proposition : « pour tout réel $x$ , $x^{2} > x$ ».

Prenons $x = 0, 5$ . Alors $x^{2} = 0, 25$ et $0, 25 < 0, 5$ . La conclusion est donc fausse pour cette valeur : la proposition est fausse.

Un seul contre-exemple suffit — inutile d'en donner plusieurs.

À retenir

$\in$ relie un élément à un ensemble, $\subset$ relie deux ensembles.
$N \subset Z \subset D \subset Q \subset R$ .
$A \cap B$ : dans les deux. $A \cup B$ : dans l'un au moins — le « ou » est inclusif.
Nier « et » donne « ou », nier « ou » donne « et ». La négation de $>$ est $\leq$ .
Une implication ne se retourne pas : $x = 2 \Rightarrow x^{2} = 4$ , mais pas l'inverse.
Un seul contre-exemple suffit à réfuter une proposition universelle.