Automatismes — Maths 2nde

Les automatismes sont les gestes de calcul que l'on doit exécuter vite et sans hésiter : pourcentages, fractions, conversions, lecture de graphiques. Ils ne remplacent pas la réflexion — ils la libèrent, en évitant que l'attention se disperse sur des calculs élémentaires au milieu d'un problème.

Pourcentages

Propriété

Le coefficient multiplicateur

Prendre $t %$ d'une quantité, c'est la multiplier par $\frac{t}{100}$ .

Augmenter de $t %$ , c'est multiplier par $1 + \frac{t}{100}$ ; diminuer de $t %$ , c'est multiplier par $1 - \frac{t}{100}$ . Ainsi une hausse de $20 %$ multiplie par $1, 2$ et une baisse de $30 %$ par $0, 7$ .

Deux évolutions successives se composent en multipliant les coefficients.

Attention

Les pourcentages ne s'additionnent pas

Augmenter de $20 %$ puis diminuer de $20 %$ ne ramène pas au point de départ : le coefficient global est $1, 2 \times 0, 8 = 0, 96$ , soit une baisse de $4 %$ .

De même, deux hausses de $10 %$ font $1, 1 \times 1, 1 = 1, 21$ , soit $+ 21 %$ et non $+ 20 %$ . Le réflexe correct est toujours de passer par les coefficients multiplicateurs.

Exemple

Retrouver le prix initial

Après une hausse de $25 %$ , un article coûte $45$ euros. Quel était son prix initial ?

Le prix a été multiplié par $1, 25$ . Le prix initial est donc :

$\frac{45}{1 , 25} = 36$ euros

Surtout pas $45$ diminué de $25 %$ , qui donnerait $33, 75$ euros : une hausse de $25 %$ ne se défait pas par une baisse de $25 %$ .

Fractions, puissances, conversions

Propriété

Réflexes de calcul fractionnaire

Addition : réduire au même dénominateur — $\frac{1}{4} + \frac{1}{6} = \frac{3}{12} + \frac{2}{12} = \frac{5}{12}$ .
Multiplication : numérateurs entre eux, dénominateurs entre eux, en simplifiant avant de calculer.
Division : multiplier par l'inverse — diviser par $\frac{2}{3}$ , c'est multiplier par $\frac{3}{2}$ .

Propriété

Puissances de dix et ordres de grandeur

Les règles $1 0^{a} \times 1 0^{b} = 1 0^{a + b}$ et $\frac{1 0 ^{a}}{1 0 ^{b}} = 1 0^{a - b}$ permettent d'estimer un ordre de grandeur avant tout calcul exact.

Exemple : $\frac{6 \times 1 0 ^{7}}{3 \times 1 0 ^{4}} = 2 \times 1 0^{3}$ . Une réponse de calculatrice qui s'écarte de l'ordre de grandeur prévu signale une faute de frappe.

Propriété

Conversions d'unités

Chaque changement d'unité est une multiplication par une puissance de $10$ : $1$ km vaut $1 0^{3}$ m, $1$ m vaut $1 0^{2}$ cm.

Les aires font intervenir le carré du facteur ( $1$ m $^{2}$ vaut $1 0^{4}$ cm $^{2}$ ) et les volumes son cube ( $1$ m $^{3}$ vaut $1 0^{6}$ cm $^{3}$ , et $1$ L vaut $1$ dm $^{3}$ ). Pour les durées, le facteur est $60$ : convertir $1, 5$ h en minutes donne $90$ min, pas $150$ .

Lecture rapide de graphiques

Méthode

Lire une information sur une courbe

Les questions de lecture graphique se traitent en trois gestes, toujours les mêmes.

1
Lire les axes d'abord : grandeurs représentées, unités, graduations — une graduation ne vaut pas toujours $1$ .
2
Pour une image, partir de l'axe des abscisses, monter jusqu'à la courbe, lire à l'horizontale ; pour un antécédent, faire le chemin inverse.
3
Contrôler la vraisemblance de la valeur lue par rapport au contexte et à l'allure globale de la courbe.

Attention

Les pièges de lecture les plus fréquents

Un axe qui ne commence pas à $0$ exagère visuellement les variations.
Sur un diagramme circulaire, on lit des proportions, jamais des effectifs sans connaître le total.
Une courbe qui monte de moins en moins vite reste croissante : ne pas confondre la valeur et sa vitesse de variation.

Remarque

Comment travailler ce chapitre

Un automatisme s'acquiert par des séances courtes et répétées : dix minutes par jour valent mieux qu'une heure par semaine. L'objectif est la sûreté avant la vitesse — la vitesse vient seule, avec la répétition.

À retenir

Augmenter de $t %$ : multiplier par $1 + \frac{t}{100}$ ; diminuer : par $1 - \frac{t}{100}$ ; évolutions successives : produits de coefficients.
Deux évolutions de pourcentages ne s'additionnent jamais : $+ 20 %$ puis $- 20 %$ donne $- 4 %$ .
Diviser par une fraction, c'est multiplier par son inverse.
$1 0^{a} \times 1 0^{b} = 1 0^{a + b}$ : estimer l'ordre de grandeur avant le calcul exact.
Aires et volumes se convertissent avec le carré et le cube du facteur d'unité.
Sur un graphique : lire les axes d'abord, puis la courbe, puis contrôler la vraisemblance.